// 动态规划 - 核心 5 步：
// 1. 确定状态表示 - 根据 题目要求，经验(以 i,j 位置为结尾/开始......)，发现重复子问题 确定状态表示
// 2. 推导状态转移方程: dp[i] = ?
//    用 之前的状态 或者 之后的状态 推导当前的状态（根据最近一步划分问题）
// 3. 初始化：保证填表时不越界，结合多开数组的技巧
// 4. 确定填表顺序：填写当前状态值的时候，所需状态的值已经计算过了
// 5. 返回值：结合题目要求 + 状态表示

// 经典题目：斐波那契数列模型，路径问题，简单多状态

// 技巧：
// dp[] 表多开一个长度，处理数组越界及初始化复杂的问题
// dp[][] 表多开一行，多开一列
// 结合滚动数组优化 - 注意赋值顺序

// 总结经验:
// 动态规划题目如果定义完 dp[] 数组，发现 dp[i] 依赖前面的状态，也依赖后面的状态，那么想一想打家劫舍模型
// 如果觉得不像打家劫舍模型，那么搞一个数组预处理一下，搞成连续的数组，往打家劫舍模型上靠
// 如果题目的状态表示存在多个状态，比如给房子涂颜色（红蓝绿），某个位置元素（选或不选），
// 可以根据经验(以某个位置为结尾/开头)以及状态（定义多个状态: f[i], g[i]）定义状态表示
// 如果动态规划过程中涉及到状态转换，需要画状态机图进行分析
// 如果一个维度无法表示清楚状态，可以再增加一个维度

// 例题 7:
// 给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。
//
//        设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
//
//        注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
//
//        示例 1:
//
//        输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
//        输出：6
//        解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
//        随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
//        示例 2：
//
//        输入：prices = [1,2,3,4,5]
//        输出：4
//        解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。
//        注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。
//        因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。
//        示例 3：
//
//        输入：prices = [7,6,4,3,1]
//        输出：0
//        解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
//        示例 4：
//
//        输入：prices = [1]
//        输出：0
//
//
//        提示：
//
//        1 <= prices.length <= 105
//        0 <= prices[i] <= 105

// 解题思路:
// 状态可以分为 3 个维度：交易状态，交易天数以及买卖次数
// 为了把状态表示分析清楚，因此需要定义三维的状态表示 dp[i][j][k]，也可以将交易状态提出来，定义一个两个二维的状态表示
// f[i][j] 表示第 i 天处于买入状态交易 j 次的最大利润，g[i][j] 表示第 i 天交易 j 次处于卖出状态的最大利润
// f[i][j] = max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - price[i])
// g[i][j] = max(g[i - 1][j], f[i - 1][j - 1] + price[i])

// 初始化：
// 考虑到初始化可能会越界，因此需要初始化第 0 行和第 0 列
// 第 0 列初始化可以使用修改状态转移方程的技巧来避免
// 第二个状态转移方程可修改为：g[i][j] = g[i - 1][j], if(j - 1 >= 0) g[i][j] = max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + price[i])
// 第一行初始化的时候不能直接初始化为 0，因为第 0 天可能会处于买入状态，最大利润为负数，初始化成 0 会影响最终结果
// 因此可以初始化成无穷小，但是不能初始化为 Integer.MIN_VALUE, 因为会减 price[i]，超出整数范围
// 这里使用第二个技巧：将值初始化为整数的一半 0x3F3F3F3F

public class MaxProfit3 {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int[][] f = new int[n][3];
        int[][] g = new int[n][3];

        for(int j = 0; j < 3; j++){
            f[0][j] = -0x3F3F3F3F;
            g[0][j] = -0x3F3F3F3F;
        }
        f[0][0] = -prices[0];
        g[0][0] = 0;

        for(int i = 1; i < n; i++){
            for(int j = 0; j < 3; j++){
                f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], g[i - 1][j] - prices[i]);
                g[i][j] = g[i - 1][j];
                if(j - 1 >= 0){
                    g[i][j] = Math.max(g[i][j], f[i - 1][j - 1] + prices[i]);
                }
            }

        }
        int ret = 0;
        for(int j = 0; j < 3; j++){
            ret = Math.max(ret, g[n - 1][j]);
        }
        return ret;
    }
}
